1.Cho biểu thức:
M=\(\left(\dfrac{x\sqrt{x}+1}{x-1}-\dfrac{x-1}{\sqrt{x}-1}\right):\left(\sqrt{x}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right)\)với x>0;x\(\ne\)1
Rút gọn biểu thức M và tìm x để M<0
cho biểu thức:
P=\(\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-x+\sqrt{x}-1}\right)\)\(:\left(\dfrac{x+\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{x+1}\right)\)
với x\(\ge\)0;x\(\ne\)1
1)Rút gọn P
2)Tìm x để P<\(\dfrac{1}{2}\)
3) tìm m để phương trình (\(\sqrt{x}+1\))P= m-x có nghiệm x
1: \(P=\dfrac{x+1-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+1\right)}:\dfrac{x+\sqrt{x}+\sqrt{x}+1}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}-1}{x+1}\cdot\dfrac{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{x+1}\)
2: P<1/2
=>P-1/2<0
=>\(2\sqrt{x}-2-x-1< 0\)
=>-x+2căn x-1<0
=>(căn x-1)^2>0(luôn đúng)
\(P=\left(\dfrac{\sqrt{x}+1}{x-1}+\dfrac{x}{x-\sqrt{x}}\right):\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\) với x > 0; x \(\ne\) 1
a) Rút gọn P
b) Tìm GTNN của biểu thức M = P.\(\sqrt{x}\) khi x > 1
Lời giải:
\(P=\left[\frac{\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}+\frac{x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}\right]:\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
\(=\left[\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right].\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)
b. Áp dụng BĐT AM-GM
\(M=P\sqrt{x}=\frac{x}{\sqrt{x}-1}=\frac{x-1+1}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}+1+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\)
\(=(\sqrt{x}-1)+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+2\geq 2\sqrt{(\sqrt{x}-1).\frac{1}{\sqrt{x}-1}}+2=2+2=4\)
Vậy $M_{\min}=4$ khi $\sqrt{x}-1=\frac{1}{\sqrt{x}-1}$
$\Rightarrow \sqrt{x}-1=0$
$\Leftrightarrow x=1$
Rút gọn biểu thức:
M=\(\left(\dfrac{x+\sqrt{x}+10}{x-9}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-3}\right):\dfrac{1}{\sqrt{x}-3}\)với x\(\ge\)0;x\(\ne\)9
Cho biểu thức P = \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\right):\dfrac{\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}\) (với x>0; x\(\ne\)0)
a,Rút gọn biểu thức P và tìm x để P = \(\dfrac{-3}{5}\)
b,Tìm GTNN của biểu thức A=P . \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)
\(a,P=\dfrac{\sqrt{x}+2+\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\cdot\dfrac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\dfrac{-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{-2}{\sqrt{x}+2}\\ P=-\dfrac{3}{5}\Leftrightarrow\dfrac{2}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{3}{5}\\ \Leftrightarrow3\sqrt{x}+6=10\Leftrightarrow\sqrt{x}=\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow x=\dfrac{16}{9}\left(tm\right)\)
Cho biểu thức A = \(\left(\dfrac{x-\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{x-\sqrt{x}}\right):\dfrac{\sqrt{x}-1}{x+2\sqrt{x}+1}\) với x>0 x\(\ne\)1
a, rút gọn biểu thức b, tìm giá trị của x để A \(\le\dfrac{3}{\sqrt{x}}\)
a: \(A=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{x-\sqrt{x}}\right)\cdot\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\dfrac{x-\sqrt{x}-\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\dfrac{x-2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)^2}\)
b: Để A<=3/căn x thì \(\dfrac{x-2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)^2}< =\dfrac{3}{\sqrt{x}}\)
=>\(\dfrac{x-2\sqrt{x}-1-3x+6\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}< =0\)
=>\(-2x+4\sqrt{x}-4< =0\)
=>\(x-2\sqrt{x}+2>=0\)(luôn đúng)
Câu 4: Cho biểu thức: \(M=\left(\dfrac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\right):\dfrac{\sqrt{x}+1}{x}\) với \(x>0,\) \(x\) ≠ 1
a. Điều kiện biểu thức có nghĩa
b. Rút gọn M
c. Tìm \(x\) để M < 0
\(a,ĐK:x>0;x\ne1\\ b,M=\left[\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\right]\cdot\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\\ M=\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{x-1}{\sqrt{x}}\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}-1\\ c,M< 0\Leftrightarrow\sqrt{x}< 1\Leftrightarrow0< x< 1\)
cho biểu thức A=\(\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{x-1}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right)\)với x≥0,x≠1
a)rút gọn A
b)tìm x nguyên để M =A.\(\dfrac{\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}+1}+\dfrac{x-\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+3}\)có giá trị nguyên
a: \(A=\dfrac{2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}=\dfrac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\)
\(A=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\right)\) và \(B=\left(\dfrac{x+1}{2}-\sqrt{x}\right)\)( X>= 0, x khác 1)
1. Tính giá trị của biểu thức B khi x = 4
2. Rút gọn biểu thức M = A.B
3. Tìm x để M = \(\dfrac{\sqrt{x}}{6}\)
1.\(x=4\)
\(B=\left(\dfrac{x+1}{2}-\sqrt{x}\right)=\left(\dfrac{4+1}{2}-\sqrt{4}\right)=\dfrac{5}{2}--2=\dfrac{5-4}{2}=\dfrac{1}{2}\)
2.\(A=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\right)=\left(\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)-\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(B=\dfrac{x+1}{2}-\sqrt{x}=\dfrac{x+1-2\sqrt{x}}{2}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{2}\)
\(M=A.B=\dfrac{2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}.\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{2}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)
3.\(M=\dfrac{\sqrt{x}}{6}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}}{6}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)=6\left(\sqrt{x}-1\right)\)
\(\Leftrightarrow x+\sqrt{x}=6\sqrt{x}-6\)
\(\Leftrightarrow x-5\sqrt{x}+6=0\)
Đặt \(\sqrt{x}=a;a\ge0\)
=> pt trở thành:
\(a^2-5a+6=0\)
\(\Delta=\left(-5\right)^2-4.6=25=24=1>0\)
=> pt có 2 nghiệm:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{5+\sqrt{1}}{2}=3\left(tm\right)\\x_2=\dfrac{5-\sqrt{1}}{2}=2\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
Xét \(\sqrt{a}=3\)
\(\Leftrightarrow a=9\)
Xét \(\sqrt{a}=2\)
\(\Leftrightarrow a=4\)
Vậy \(x=9;4\)
Cho biểu thức A= \(\left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-1}\right):\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\) với x>0 và x\(\ne\)1. Rút gọn biểu thức A
Sửa đề: \(A=\left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-1}\right):\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)
Ta có: \(A=\left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-1}\right):\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\left(\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\cdot\left(\sqrt{x}-1\right)}-\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\cdot\left(\sqrt{x}-1\right)}\right):\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\dfrac{x+\sqrt{x}-2-x+\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\cdot\left(\sqrt{x}-1\right)}:\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\dfrac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\cdot\left(\sqrt{x}-1\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{2}{x-1}\)